quinta-feira, 6 de abril de 2017

Exercício de Álgebra Linear


 SOLUÇÃO 

a) Para mostrar que T é um isomorfismo, vamos mostrar que N(T) = {0}

Resolvendo o sistema, encontramos x = y = z = 0. Portanto, N(T) = {0} e dim N(T) = 0. Consequentemente, dim Im(T) = dim ℝ³ = 3. T é isomorfismo.

b) Uma vez que β é a base canônica, as colunas da matriz [T]β são formadas pelos coeficientes de x, y e z no operador definido.

Vamos encontrar [T]β'.

Para isso, vamos aplicar T em cada vetor da base β', e vamos encontrar coeficientes tais que T(1,1,0), T(1,0,0) e T(1,-1,1) sejam combinação linear de β'.

T(1,1,0) = (2,0,1) = a(1,1,0) + b(1,0,0) + c(1,-1,1)     (I)
T(1,0,0) = (1,1,1) = m(1,1,0) + n(1,0,0) + p(1,-1,1)   (II)
T(1,-1,1) = (-2,2,2) = r(1,1,0) + s(1,0,0) + t(1,-1,1)  (III)

Resolvendo o sistema (I), encontramos a = 1, b = 0, c = 1;
Do sistema (II), temos m = 2, n = -2, p = 1;
do sistema (III), temos r = 4, s = -8, t = 2.

Montando a matriz [T]β': a,b,c viram a 1ª coluna da matriz, m,n,p viram a 2ª coluna e r,s,t viram a 3ª coluna.

Vamos agora calcular os determinantes:



Como era de se esperar, o determinante, também chamado de polinômio característico, é sempre o mesmo, não importa a base escolhida.

c) Para responder essa, vamos precisar de dois corolários da Álgebra Linear:

Corolário: Seja T:V→W uma transformação linear e α e β bases de V e W. Então T é inversível se e somente se det[T]βα ≠ 0.


Corolário: Se T:V→W é inversível e α e β bases de V e W, então T-1: W→V é um operador linear e

Ou seja, para nosso caso: [T-1]β = ([T]β)-1

Vamos então encontrar a matriz inversa de [T]β

A matriz inversa é uma tal que [T] · [T]-1 = [I] (matriz identidade)


Efetuando a multiplicação, você encontrará três sistemas, um com variáveis a, b e c; outro com p, q e r; outro com x, y e z.

Resolvendo-os, você deve encontrar a matriz
Para encontrar o operador, temos que a achar o vetor coordenada.
Uma vez que a base é a base canônica, nosso operador inverso é:

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