Solução
Encontremos a interseção da esfera com o plano. Basta substituir z = -x -y na equação da esfera. O resultado será 2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1.
O resultado, como você deve imaginar, é uma elipse, porém, esta se encontra rotacionada.
Vamos fazer uma rotação de \frac{\pi}{4} no sistema de coordenadas usando a matriz de rotação:
\begin{equation} M_{\theta} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \operatorname{sen} \theta \\ - \operatorname{sen} \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \end{equation}
Logo, nossa matriz será:
\begin{equation} M_{\frac{\pi}{4}} = \begin{bmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & \operatorname{sen} \frac{\pi}{4} \\ - \operatorname{sen} \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ - \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \end{equation}
Multiplicando a matriz de rotação pelo vetor coluna \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, obtemos as novas coordenadas (u, v) como sendo:
\begin{equation} \begin{matrix} u = \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y\\\\ v = -\frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{\sqrt{2}}{2}y \end{matrix} \end{equation}
Isolando x e y, obtemos:
\begin{equation} \begin{matrix} x = \frac{\sqrt{2}}{2}u - \frac{\sqrt{2}}{2}v\\\\ y = \frac{\sqrt{2}}{2}u + \frac{\sqrt{2}}{2}v \end{matrix} \end{equation}
Nossa elipse então passa a ser:
3u^2 + v^2 = 1
Ou simplesmente,
\displaystyle \frac{u^2}{\left ( 1/\sqrt{3} \right )^{2}} + v^2 = 1
Vamos prosseguir com o cálculo da integral de linha. Vamos parametrizar a elipse como sendo
u = \frac{\cos t}{\sqrt{3}} e v = \text{sen} t, com 0 \leq x \leq 2\pi.
Vamos chamar a = \sqrt{2}/2 para ajudar na visualização e nos cálculos.
Com a parametrização, chegamos a:
\displaystyle x = \frac{a \cos t}{\sqrt{3}} , y = a \text{sen}t e \displaystyle z = \frac{-2a \cos t}{\sqrt{3}}
Se você fizer o cálculo do \displaystyle ds = \sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dz}{dt} \right )^{2}} dt, você obterá ds = dt. Verifique, é muito legal!
Finalmente, a massa do fio é dada pela integral \displaystyle \int_{\gamma }\rho(x,y,z)ds. Substituindo os resultados que encontramos, obtemos a integral:
\begin{equation} m = \int_{0}^{2\pi}\left ( \frac{a^{2}\cos^{2}t}{3} - \frac{2a^{2}\sin t\cos t}{\sqrt{3}} + a^{2} \text{sen}^{2}t\right )dt \end{equation}
Cujo resultado é \displaystyle m = \frac{4\pi a^{2}}{3}.
Sendo a = \sqrt{2}/2, temos que a massa do fio é:
\displaystyle \boxed{m = \frac{2\pi}{3}}
Formidável!!
Essa questão foi retirada da lista de Integrais de Linha do professor Marivaldo Matos, da UFPB, a qual você pode encontrar no site dele clicando aqui.
Obrigado, professor!
Att, Renan.
